Question

已知矩陣A=，其中a∈R，若點P（1，1）在矩陣A的變換下得到點P′（0，-3）.（1）求實數a的值；
（2）求矩陣A的特征值及特征向量.

Answer 1

（1）-4（2）矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為.矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量為.

（1）由=
得a+1=-3a=-4.
（2）由（1）知A=
則矩陣A的特征多項式為
f（）==（-1）²-4=²-2-3
令f()=0,得矩陣A的特征值為-1或3.
設矩陣A的特征向量為
當=-1時，="(-1)"
即,所以y=2x.
∴矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量為.
當=3時，=3,
即,所以2x+y=0.
∴矩陣A的屬于特征值3的一個特征向量為.