Question

（本小題滿分12分）如圖4，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD，側面底面ABCD，且為等腰直角三角形，，M為AP的中點。
  （1）求證：
（2）求證：DM//平面PCB；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小。

Answer 1

同解析

解法一：（1）取的中點，連結．
，    …………2分
，且，
是正三角形，,又,
平面．
．          …………4分
（2）取的中點，連結．
分別為的中點，
，且．
∵四邊形是直角梯形，且，
且．                …………6分
∴四邊形是平行四邊形．
．
平面，平面
平面．                  …………8分
（3）延長與交點為，連結．
過作于一定，
連結，則．
為平面與平面所成銳二面角的平面角．  …………0分
設,則,
．
又因為,


平面與平面所成銳二面角的大小為． …………12分

解法二：（1）同解法一
（2） ∵側面底面，
又，     底面．
．
∴直線兩兩互相垂直，
故以為原點,直線所在直線為軸、軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
設，則可求得
，
．
．
設是平面的法向量，則且．
 
取，得．     …………6分
是的中點，．
．
．
．
平面，
平面． ………………………8分
（3）又平面的法向量，
設平面與平面所成銳二面角為,
則,…………10分
平面與平面所成銳二面角的大小為．…………12分