Question

【題目】如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E為棱CC1上的動點．
（1）求證：A1E⊥BD；
（2）是否存在這樣的E點，使得平面A1BD⊥平面EBD？若存在，請找出這樣的E點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AC，設AC∩DB=O，連接A1O，OE．

∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥BD，又BD⊥AC，

∴BD⊥平面ACEA1，∵A1E平面ACEA1，

∴A1E⊥BD

（2）解：當E是CC1的中點時，平面A1BD⊥平面EBD．

證明如下：

∵A1B=A1D，EB=ED，O為BD中點，∴A1O⊥BD，EO⊥BD

∴∠A1OE為二面角A1﹣BD﹣E的平面角．

在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設棱長為2a，

∵E為棱CC1的中點，由平面幾何知識，EO= a，A1O= a，A1E=3a，

∴A1E2=A1O2+EO2，即∠A1OE=90°．

∴平面A1BD⊥平面EBD

【解析】（1）連接AC，設AC∩DB=O，連接A1O，OE．證明A1A⊥BD，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACEA1 ， 然后證明A1E⊥BD．（2）當E是CC1的中點時，平面A1BD⊥平面EBD．說明∠A1OE為二面角A1﹣BD﹣E的平面角．設棱長為2a，推出∠A1OE=90°．即可證明平面A1BD⊥平面EBD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．