Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.

（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）設PM="t" MC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小為30°，試確定t的值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

本題考查平面與平面垂直的證明，求實數的取值．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，合理地運用向量法進行解題．
（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC= AD，Q為AD的中點，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD．
法二：由AD∥BC，BC=
AD，Q為AD的中點，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此證明平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）由PA=PD，Q為AD的中點，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q為原點建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出t=3．
解：（I）方法一∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．    
∵∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．又
∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD， 
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．  ……………………6分
方法二：AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點， ∴ 四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．
∵ ∠ADC=90°   ∴∠AQB=90°． ∵ PA=PD， ∴PQ⊥AD．
∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分
（II）∵PA=PD，Q為AD的中點， ∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則平面BQC的法向量為；
，，
，．
設，則，，
∵，
∴ ，  
∴   ………………9分
在平面MBQ中，，，
∴ 平面MBQ法向量為．       
∵二面角M-BQ-C為30°，，
∴ ．      …………………………12分