Question

如圖，幾何體是四棱錐，△為正三角形，.
(1)求證：；
(2)若∠，M為線段AE的中點，求證：∥平面.

Answer 1

(1)見解析 (2) 見解析

本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的判定定理與面面平行的判定定理的應用，著重考查分析推理能力與表達、運算能力，屬于中檔題．
（1）設BD中點為O，連接OC，OE，則CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面OCE，從而BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分線，問題解決；
（2）證法一：取AB中點N，連接MN，DN，MN，易證MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可證得平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，于是DM∥平面BEC；
證法二：延長AD，BC交于點F，連接EF，易證AB= AF，D為線段AF的中點，連接DM，則DM∥EF，由線面平行的判定定理即可證得結論．
(I)設中點為O，連接OC，OE，則由知，，…………2分
又已知，所以平面OCE. …………４分
所以，即OE是BD的垂直平分線，
所以.…………６分
(II)取AB中點N，連接，
∵M是AE的中點，∴∥，…………８分
∵△是等邊三角形，∴.
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即，
所以ND∥BC，…………1０分
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. …………12分