Question

如圖，直線l：y=x+b與拋物線x²=4y相切于點A．
（1）求實數b的值；
（2）若過拋物線的焦點且平行于直線l的直線l₁交拋物線于B，C兩點，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）由直線l：y=x+b與拋物線x²=4y，消去y，
可$\end{array}\right.$得x²=4（x+b），即x²-4x-4b=0…（2分）
∵直線l與拋物線相切，
∴△=16+16b=0，即b=-1…（5分）
（2）∵拋物線的焦點為（0，1），
∴由題意可知直線l₁的方程為y=x+1…（7分）
由

y=x+1 x2=4y

得x²-4x-4=0…（8分）
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
∴|BC|=

2

•|x₁-x₂|=

2

•

16+16

=8…（10分）
由（1）得點的坐標為A（2，1）…（11分）
∴點A到直線l₁的距離d=

|2-1+1|

12+(-1)2

=

2

…（12分）
∴S△ABC=

1

2

|BC|d=4

2

…（13分）