Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，.

（1）求拋物線C的方程.

（2）點(diǎn)，證明：直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

(1)易得直線的方程,再聯(lián)立與拋物線的方程,利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求解即可.

(2)聯(lián)立直線與雙曲線的方程,得出韋達(dá)定理,再分別利用的坐標(biāo)表達(dá)直線的斜率,進(jìn)而代入韋達(dá)定理證明斜率互為相反數(shù)即可.

（1）當(dāng)l的斜率為1時(shí)，，.

由，得.

設(shè)，，則，，

，，

拋物線C的方程為.

（2）法一：①當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，

由，得，

，

，.

，.

，，PN關(guān)于x軸對(duì)稱.

②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性，

易知PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，

綜上，直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱.

法二：顯然，直線l的斜率不為0，設(shè).

由，得，

則，.

，，

，

.

，

直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱