Question

【題目】如圖所示，將一塊直角三角形木板置于平面直角坐標系中，已知，點是三角形木板內一點，現因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經過點的任一直線將三角形木板鋸成.設直線的斜率為.

（Ⅰ）求點的坐標及直線的斜率的范圍；

（Ⅱ）令的面積為，試求出的取值范圍；

（Ⅲ）令（Ⅱ）中的取值范圍為集合，若對恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ； ； .(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知可得：直線 方程為： 直線 方程為： ，分別與直線 的方程聯立即可得出點的坐標；由在坐標系中的位置可求斜率

的取值范圍
（Ⅱ）利用三角形的面積計算公式可得 ，通過換元利用導數即可得出其單調性最值，進而得出的取值范圍區間D；
（Ⅲ）已知 對任意 恒成立．可轉化為 再利用二次函數的單調性即可得出．

試題解析：（（Ⅰ）∵，

∴直線方程為：

直線方程為： ，

由得.

∵，∴或，

又由得且，

得，∴.

（Ⅱ） .

設， .

∵在是單調遞增.∴當時， ，即當時即時， ， ，∴.

（Ⅲ）已知對任意恒成立.

又∵，∴，

.∴.