Question

已知A，B，C為銳角△ABC的三個內角，向量

m

=（2-2sinA，cosA+sinA），

n

=（1+sinA，cosA-sinA），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求y=2sin²B+cos（

2π

3

-2B）取最大值時角B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據兩向量的垂直，利用兩向量的坐標求得（2-2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA-sinA）=0，利用同角三角函數的基本關系整理求得cosA的值，進而求得A．
（Ⅱ）根據A的值，求得B的范圍，然后利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式化簡整理后．利用B的范圍和正弦函數的單調性求得函數的最大值，及此時B的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

⊥

n

，
∴（2-2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA-sinA）=0
?2（1-sin²A）=sin²A-cos²A
?2cos²A=1-2cos²A
?cos²A=

1

4

．
∵△ABC是銳角三角形，∴cosA=

1

2

?A=

π

3

．

（Ⅱ）∵△ABC是銳角三角形，且A=

π

3

，∴

π

6

＜B＜

π

2

∴y=2sin2B+cos(

2π

3

-2B)
=1-cos2B-

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=

3

2

sin2B-

3

2

cos2B+1
=

3

sin（2B-

π

3

）+1
當y取最大值時，2B-

π

3

=

π

2

，即B=

5

12

π．

點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，向量的基本性質．考查了學生對基礎知識的掌握和基本的運算能力．