Question

已知A，B，C為銳角△ABC的三個內角，向量=（2-2sinA，cosA+sinA），=（1+sinA，cosA-sinA），且⊥．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求y=2sin²B+cos（-2B）取最大值時角B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據兩向量的垂直，利用兩向量的坐標求得（2-2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA-sinA）=0，利用同角三角函數的基本關系整理求得cosA的值，進而求得A．
（Ⅱ）根據A的值，求得B的范圍，然后利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式化簡整理后．利用B的范圍和正弦函數的單調性求得函數的最大值，及此時B的值．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴（2-2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA-sinA）=0
⇒2（1-sin²A）=sin²A-cos²A
⇒2cos²A=1-2cos²A
⇒cos²A=．
∵△ABC是銳角三角形，∴cosA=⇒A=．

（Ⅱ）∵△ABC是銳角三角形，且A=，∴＜B＜
∴
=1-cos2B-cos2B+sin2B
=sin2B-cos2B+1
=sin（2B-）+1
當y取最大值時，2B-=，即B=．
點評：本題主要考查了三角函數的化簡求值，向量的基本性質．考查了學生對基礎知識的掌握和基本的運算能力．