Question

（2012•福建模擬）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

2

，∠ABC=90°，如圖1．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖2．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB；
（Ⅱ）若點M為線段BC中點，求點M到平面ACD的距離；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出

BN

BC

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用線面垂直的性質可得CD⊥AB；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面ACD的一個法向量為

n

=(1，0，-1)，進而可求點M到平面ACD的距離；
（Ⅲ）假設在線段BC上存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°，設

BN

=λ

BC

， 0＜λ＜1，可得

AN

=(1-2λ，2λ，-1)，利用向量的夾角公式，建立方程，即可求得結論．

解答：（Ⅰ）證明：由已知條件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD．…（2分）
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．
∴CD⊥平面ABD．…（3分）
又∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB．…（4分）
（Ⅱ）解：以點D為原點，BD所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，0）．
∴

CD

=(0，-2，0)，

AD

=(-1，0，-1)．…（6分）
設平面ACD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

CD

⊥

n

，

AD

⊥

n

，∴

y=0 x+z=0

令x=1，得平面ACD的一個法向量為

n

=(1，0，-1)，
∴點M到平面ACD的距離d=

| n • MC |

| MC |

=

2

2

．…（8分）
（Ⅲ）解：假設在線段BC上存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°．…（9分）
設

BN

=λ

BC

， 0＜λ＜1，則N（2-2λ，2λ，0），
∴

AN

=(1-2λ，2λ，-1)，
又∵平面ACD的法向量

n

=(1，0，-1)且直線AN與平面ACD所成角為60°，
∴sin60°=

| AN • n |

| AN |•| n |

=

3

2

，…（11分）
可得8λ²+2λ-1=0，
∴λ=

1

4

或λ=-

1

2

（舍去）．
綜上，在線段BC上存在點N，使AN與平面ACD所成角為60°，此時

BN

BC

=

1

4

．…（13分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉化思想．