Question

已知S_n=1++…+,(n∈N^*)，設f(n)=S_2n+1－S_n+1,試確定實數m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數n，不等式: 
f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立.

Answer 1

∵S_n=1++…+. (n∈N^*)

∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是關于n的增函數
∴f(n) _min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然數n，不等式
f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立
只要＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²成立即可
由得m＞1且m≠2
此時設［log_m(m－1)］²=t 則t＞0
于是　解得0＜t＜1
由此得0＜［log_m(m－1)］²＜1
解得m＞且m≠2.