Question

函數(shù)y=f（x），x∈[-5，5]的圖象如圖所示，該曲線在原點處的切線的方程為y=x，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）是減函數(shù)．給出下列四個命題：
①A，B是該圖象上的任意兩點，那么直線AB的斜率k_AB∈（0，1）；
②點P是該圖象在第一象限內(nèi)的部分上的點，那么直線OP的斜率k_OP∈（0，1）；
③對于?x₁，x₂∈[-5，5]，f（x₁）+f（x₂）≤2f（

x1+x2

2

）恒成立；
④對于?x∈[-5，5]，f（x）≤x．
其中所有真命題的序號是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、②④
• D、①③

Answer 1

分析：對于①A，B是該圖象上的任意兩點，直線AB的斜率可以用AB中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)對應(yīng)到圖象上點的切線斜率近似代替，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個減函數(shù)，知當(dāng)x＜0時f′（x）＞f′（0）=1，故①不正確；再結(jié)合選項，說明應(yīng)在B、C當(dāng)中選一個，問題的焦點集中到③這個命題是否正確了．利用函數(shù)圖象的凹凸性不難發(fā)現(xiàn)命題③是正確的，這樣就可以選到正確答案了．

解答：解：先看命題①：若A，B是該圖象上的任意兩點，直線AB的斜率可以用AB中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)對應(yīng)到圖象上點的切線斜率近似代替，
由已知條件曲線在原點處的切線的方程為y=x，說明f′（0）=1，再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個減函數(shù)知
當(dāng)x＜0時f′（x）＞f′（0）=1，說明存在-5＜x＜0時直線AB的斜率k_AB＞1，故①不正確；
再結(jié)合選項：只有B、C當(dāng)中沒有認(rèn)為①正確，說明應(yīng)在B、C當(dāng)中選一個，
問題的焦點集中到③這個命題是否正確了．
利用函數(shù)圖象的凹凸性：函數(shù)f（x）是一個凸函數(shù)，說明滿足不等式：f(

x1+x2

2

) ≥

1

2

(f(x1)+f(x2) )
對照一下命題③，說明命題③是正確的，因此可得正確答案為②③④．
故選B

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象、函數(shù)圖象的凹凸性和函數(shù)恒成立等問題，綜合性較強(qiáng)，是一道難題．此問題還著重考查學(xué)生觀察圖形，分析問題和解決問題的能力，不失為一道優(yōu)良的考題．