Question

（2009•盧灣區一模）將奇函數的圖象關于原點（即（0，0））對稱這一性質進行拓廣，有下面的結論：
①函數y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要條件是y=f（x）的圖象關于點（a，b）成中心對稱．
②函數y=f（x）滿足F（x）=f（x+a）-f（a）為奇函數的充要條件是y=f（x）的圖象關于點（a，f（a））成中心對稱（注：若a不屬于x的定義域時，則f（a）不存在）．
利用上述結論完成下列各題：
（1）寫出函數f（x）=tanx的圖象的對稱中心的坐標，并加以證明．
（2）已知m（m≠-1）為實數，試問函數f(x)=

x+m

x-1

的圖象是否關于某一點成中心對稱？若是，求出對稱中心的坐標并說明理由；若不是，請說明理由．
（3）若函數f(x)=(x-

2

3

)(|x+t|+|x-3|)-4的圖象關于點(

2

3

，f(

2

3

))成中心對稱，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據正切函數圖象觀察出圖象的對稱中心的坐標為(

kπ

2

，0)再利用①進行證明．
（2）將函數f(x)=

x+m

x-1

化成f(x)=1+

m+1

x-1

，據其簡圖可知對稱中心的坐標為（1，1）．再利用②進行證明．
（3）若函數f(x)=(x-

2

3

)(|x+t|+|x-3|)-4的圖象關于點(

2

3

，f(

2

3

))成中心對稱，則）由結論②F(x)=f(x+

2

3

)-f(

2

3

)=x(|x+

2

3

+t|+|x-

7

3

|)為奇函數，從而轉化為h(x)=|x+

2

3

+t|+|x-

7

3

|，求t的取值即可．

解答：解：（1）函數f（x）=tanx的圖象的對稱中心的坐標為(

kπ

2

，0)（k∈N^*）．    …（2分）
當k=2n（n∈N^*）時，tan(

kπ

2

+x)+tan(

kπ

2

-x)=tanx-tanx=0；
當k=2n+1（n∈N^*）時，tan(

kπ

2

+x)+tan(

kπ

2

-x)=-cotx+cotx=0，得證．                   …（6分）
（2）由f(x)=

x+m

x-1

=1+

m+1

x-1

，得f（x）的圖象的對稱中心的坐標為（1，1）．…（9分）f(x+1)+f(1-x)=

x+1+m

x+1-1

+

1-x+m

1-x-1

=

x+1+m

x

+

-x+1+m

-x

=2，由結論①得，對實數m（m≠-1），函數f(x)=

x+m

x-1

的圖象關于點（1，1）成中心對稱．   …（12分）
（3）由結論②F(x)=f(x+

2

3

)-f(

2

3

)=x(|x+

2

3

+t|+|x-

7

3

|)為奇函數，…（14分）
其中g（x）=x為奇函數，故h(x)=|x+

2

3

+t|+|x-

7

3

|為偶函數
于是，由h（x）=h（-x）可得|x+

2

3

+t|+|x-

7

3

|=|x-(

2

3

+t)|+|x+

7

3

|，…（16分）
因此，

2

3

+t=

7

3

，解得t=

5

3

為所求．                                 …（18分）

點評：本題考查閱讀理解、分析解決問題、轉化、計算的能力．用到的知識有三角函數圖象的對稱中心，分式函數的對稱中心，函數的奇偶性判斷．三角函數誘導公式．