Question

【題目】若存在實數(shù)使得則稱是區(qū)間的一內(nèi)點．

（1）求證：的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點；

（2）若實數(shù)滿足：求證：存在，使得是區(qū)間的一內(nèi)點；

（3）給定實數(shù)，若對于任意區(qū)間，是區(qū)間的一內(nèi)點，是區(qū)間的一內(nèi)點，且不等式和不等式對于任意都恒成立，求證：

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析 （2）證明過程見解析 (3)證明過程見解析

【解析】

（1）先理解定義，再由已知證明的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點；

（2）用作差法判斷的大小關(guān)系，得，結(jié)合（1）即可得證；

（3）由已知可得恒成立，由二次不等式恒成立問題可得，且，解得，同理，即可得解.

解：（1）①若是區(qū)間的一內(nèi)點，

則存在實數(shù)使得，則，

②若，取，則，且，

則是區(qū)間的一內(nèi)點，

故的充要條件是存在使得是區(qū)間的一內(nèi)點；

（2）由，，

則，由（1）知，存在，使得是區(qū)間的一內(nèi)點；

（3）因為是區(qū)間的一內(nèi)點，則

則恒成立，

則恒成立，

當時，上式不可能恒成立，

因此，

所以，

即，即 ，

同理，

故.