Question

已知函數，
（1）求函數的極值點；
（2）若直線過點，并且與曲線相切，求直線的方程；
（3）設函數，其中，求函數在上的最小值（其中為自然對數的底數）.

Answer 1

（1）是函數的極小值點，極大值點不存在；（2）；（3）當時，的最小值為0；當時，的最小值為；當時，的最小值為.

試題分析：（1）先求函數的定義域，再按用導數法求極值的步驟求解；（2）設切點的坐標，用點斜式寫出切線的方程，由點在切線上求出切點的橫坐標，從而求得切線的方程；（3）.
試題解析：（1），，，令，則.
當，，，，故是函數的極小值點，極大值點不存在.
（2）由直線過點，并且與曲線相切，而不在的圖象上，
設切點為，直線的斜率，方程為，
又在直線上，，解得，
故直線的方程為.
（3）依題意，，，，令，則，
所以當，，單調遞減；，，單調遞增；
又，所以①當，即時，的極小值為；②當，即時，的極小值為；③當，即時，的極小值為.
故①當時，的最小值為0；②當時，的最小值為；③當時，的最小值為.