Question

函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，但不包括數(shù)0，對定義域中的任意實數(shù)，在定義域中存在使，，且滿足以下3個條件。
（1）是定義域中的數(shù)，，則
（2），（是一個正的常數(shù)）
（3）當(dāng)時，。
證明：（1）是奇函數(shù)；
（2）是周期函數(shù)，并求出其周期；
（3）在內(nèi)為減函數(shù)。

Answer 1

證：（1）對定義域中的，由題設(shè)知在定義域中存在
使，，
則
∴為奇函數(shù)
（2）因，∴，于是

若，則

若，則



仍有。
∴為周期函數(shù)，是它的一個周期。
（3）先證在內(nèi)為減函數(shù)，事實上，設(shè)，
則，則
（當(dāng)時，）。

所以
當(dāng)時，
，于是


即在內(nèi)，也是減函數(shù)，從而命題得證。

略