Question

如圖，點M為扇形AOB的弧的四等分點即

AM

=

1

4

AB

，動點C、D分別在線段OA、OB上，且OC=BD若OA=1，∠AOB=120°，則MC+MD的最小是

4- 3

．

Answer 1

分析：如圖，連結(jié)OM，設OC=a，則OD=1-a，∠AOC=30°，∠MOD=90°，利用余弦定理求得MC，利用勾股定理求得MD，可得MC+MD，再根據(jù)兩點間的距離公式求得MC+MD的最小值．

解答：解：如圖所示：連結(jié)OM，設OC=a，則OD=1-a，∠AOC=

1

4

×120°=30°，∠MOD=90°．
由余弦定理可得：MC=

a2+12-2×1×a×cos30°

=

(a- 3 2 )2+ 1 4

，
∴MD=

(1-a)2+1

=

(a-1)2+1

．
由于

MC+MD= (a- 3 2 )2+(0- 1 2 )2 + (a-1)2+(0-(-1))2

，表示點（a，0）到點（

3

2

，

1

2

）和點（1，-1）的距離之和，
故有

MC+MD≥ (1- 3 2 )2+( 1 2 -(-1))2 = 4- 3

，可得MC+MD的最小值為

4- 3

，
故答案為：

4- 3

．

點評：本題主要考查余弦定理、兩點間的距離公式的應用，屬于中檔題．