Question

知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，以其兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為4的正方形，設P為該橢圓上的動點，C、D的坐標分別是(-

2

，  0)，  (

2

，  0)，則PC•PD的最大值為

 

．

Answer 1

分析：利用正方形的面積求出橢圓的焦距、長軸長；利用橢圓的大定義求出P到兩焦點的距離，代入PC•PD轉化成二次函數最值，利用二次函數求出最值．

解答：解：設左右焦點為F₁、F₂，上頂點為A，正方形邊長=2，
∴|AF₁|=|AF₂|=2，|F1F2|=2

2

，
c=

2

，
則C、D是橢圓的左右焦點，C是F1，D是F2，
根據橢圓定義，|AF1|+|AF2|=2+2=4=2a，
a是長半軸長，
a=2，
|PF1|+|PF2|=2a=4，
|PF1|•|PF2|=|PF1|•（4-|PF1|），
設|PF1|=x，
|PC|•|PD|=x（4-x）=-x²+4x═-（x-2）²+4
當x=2時．其乘積最大值為4．
當P在短軸頂點時，最大．

點評：本題考查橢圓的定義、等價轉化的能力、二次函數最值的求法．