Question

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，過右焦點F作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點，若橢圓上存在一點C，使

OA

+

OB

=

OC

，則橢圓的離心率是（　　）

• A、

  5

  5

• B、

  10

  5

• C、

  3

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：由題意設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題意可得直線AB的方程為，y=x-c．與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用向量

OA

+

OB

=

OC

，可得點C的坐標，代入橢圓方程，再利用b²=a²-c²及離心率計算公式e=

c

a

即可得出．

解答：解：由題意設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由題意可得直線AB的方程為，y=x-c．
聯立

y=x-c x2 a2 + y2 b2 =1

，化為（a²+b²）x²-2a²cx+a²c²-a²b²=0，
∵△＞0，∴x1+x2=

2a2c

a2+b2

，
∴y₁+y₂=x₁+x₂-2c=

2a2c

a2+b2

-2c=-

2b2c

a2+b2

．
∵

OA

+

OB

=

OC

，∴（x_c，y_c）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴

xc= 2a2c a2+b2 yc= -2b2c a2+b2

，
∵點C在橢圓上，∴

( 2a2c a2+b2 )2

a2

+

( -2b2c a2+b2 )2

b2

=1，
化為4c²=a²+b²，
∵b²=a²-c²，∴4c²=2a²-c²，化為

c2

a2

=

2

5

，
∴e=

c

a

=

10

5

．
故選B．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的運算等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．