Question

【題目】如圖所示，在三棱錐P －ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA90°，APAC，點D，E分別在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE.

（Ⅰ）求證：DE⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PC⊥AD，且三棱錐P－ABC的體積為8，求多面體ABCED的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）6.

【解析】試題分析：（Ⅰ）欲證DE平面PAC，觀察本題的條件，BC⊥平面PAC易證，而BC||平面ADE結合DE=平面PBC平面ADE，可證得BC||ED，由此證法思路已明．由（Ⅰ），結合PCAD，可證得AE面PBC，即得，再由， ，AP=AC可得出E是中點，ED是PBC的中位線.

所以,根據，可得體積.

試題解析：（Ⅰ）BC||平面ADE, BC平面PBC, 平面PBC平面ADE=DE

BC||ED 2分

∵PA底面ABC，BC底面ABC ∴PABC. 3分

又，∴ACBC.

∵PAAC="A," ∴BC平面PAC. 6分

∴DE平面. 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， DE平面PAC，

∵PC平面PAC，∴DEPC， 8分

又∵PCAD，ADDE=D，∴ PC平面ADE，∴ AEPC， 9分

∵AP="AC," ∴E是PC的中點，ED是PBC的中位線. 10分

12分

∴13分

∴14分