Question

【題目】如圖1 ，正方形的邊長為分別是和的中點，是正方形的對角線與的交點，是正方形兩對角線的交點，現沿將折起到的位置，使得，連結（如圖2）．

（1）求證：；

（2）求三棱錐的高．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先由中位線定理及已知條件推出平面，然后由線面垂直的性質定理平面，從而可使問題得證；（2）分別把和當做底面求出棱錐的體積，由此列出方程求解即可．

試題解析：（1）證明：∵分別是和的中點，∴．

又∵，∴，故折起后有，又∵，∴平面，

又∵平面，∴，∵平面，

∴平面，又∵平面，∴．

（2）∵正方形的邊長為，∴，

∴是等腰三角形，連結，則，

∴的面積．

設三棱錐的高為，則三棱錐的體積為，

由（1）可知是三棱錐的高，∴三棱錐的體積：，

∵，即，解得，即三棱錐高為．