Question

正方體ABCD-A^/B^/C^/D^/的棱長為8cm，M，N，P分別是AB，A^/D^/，BB^/棱的中點．
（1）畫出過M，N，P三點的平面與平面A^/B^/C^/D^/及平面BB^/C^/C的交線，并說明畫法的依據；
（2）設過M，N，P三點的平面與B^/C^/交于點Q，求PQ的長．

Answer 1

分析：（1）利用直線上的兩個點在平面內，則直線在平面內；若一條直線在一個平面內又在另一個平面內，則直線是交線
（2）利用相似三角形的對應邊成比例，求出B′Q；據直角三角形的勾股定理求出PQ長．

解答：（本小題滿分10分）
解：（1）如圖，延長MP、A^/B^/相交于點E，連接NE，交B^/C^/于Q，
連接QP，則NE為平面MNP與平面A^/B^/C^/D^/的交線，PQ為平面MNP
與平面BB^/C^/C的交線；
理由：∵E∈直線MP，且E∈平面MNP，且E∈平面A′B′C′D′，
同理，N∈平面MNP，且N∈平面A′B′C′D′，所以，NE為平面MNP與平面A^/B^/C^/D^/的交線，
顯然，PQ為平面MNP與平面BB^/C^/C的交線；（5分）
（2）由已知和（1）得MB=B^/E=4，又△EB′Q∽△EA′N，所以，B′Q=

4

3

，又B′P=4，
所以，PQ=

4 10

3

（5分）

點評：本題考查直線與平面的關系：直線上的兩個點在平面內，直線在平面內；
相似三角形的對應邊成比例、直角三角形的勾股定理．