Question

如圖,在圓錐PO中,已知PO=,☉O的直徑AB=2,C是的中點,D為AC的中點.

求證:平面POD⊥平面PAC.

Answer 1

見解析

【證明】如圖,以O為坐標原點,OB,OC,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,

則O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D(-,,0).
設n₁=(x₁,y₁,z₁)是平面POD的一個法向量,則由n₁·=0,n₁·=0,
得
所以z₁=0,x₁=y₁.取y₁=1,得n₁=(1,1,0).
設n₂=(x₂,y₂,z₂)是平面PAC的一個法向量,
則由n₂·=0,
n₂·=0,得
所以x₂=-z₂,y₂=z₂.
取z₂=1,得n₂=(-,,1).
因為n₁·n₂=(1,1,0)·(-,,1)=0,
所以n₁⊥n₂.
從而平面POD⊥平面PAC.