Question

【題目】橢圓的上、下焦點分別為，，右頂點為B，且滿足

Ⅰ求橢圓的離心率e；

Ⅱ設P為橢圓上異于頂點的點，以線段PB為直徑的圓經過點，問是否存在過的直線與該圓相切？若存在，求出其斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在滿足條件的直線，斜率為.

【解析】

根據可得，即可求出橢圓的離心率，

由已知得，故橢圓方程為，設，求出點P的坐標，再求出線段PB為直徑的圓的圓心坐標，根據直線和圓的位置關系可得．

解：，右頂點為B，

為等腰三角形，

，

由，

橢圓的離心率．

由已知得，．

故橢圓方程為，設由，，

，，

，

，

又因為點P在橢圓上，故，

由以上兩式可得，

點P不在橢圓的頂點，

，，

故，

設圓的圓心為，則，，

則圓的半徑，

假設存在過的直線滿足題設條件，并設該直線的方程為，

由相切可知，

即得，解得

故存在滿足條件的直線．