Question

已知二次函數y＝f(x)的圖像經過坐標原點，其導函數為f??(x)＝6x－2，數列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，S_n)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖像上.（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；（Ⅱ）設b_n＝，T_n是數列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜對所有n∈N*都成立的最小正整數m；

Answer 1

(Ⅰ) a_n＝6n－5（n∈N*）   (Ⅱ) 10

解析:

（Ⅰ）設這二次函數f(x)＝ax²＋bx (a≠0) ，則 f`(x)＝2ax＋b，由于f`(x)＝6x－2，

         得a＝3 ，b＝－2，所以f(x)＝3x²－2x.，又因為點(n，S_n)(n∈N*)均在函數y＝f(x)的圖像上，所以S_n＝3n²－2n，當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－[3(n－1)²－2(n－1)]＝6n－5，

當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5（n∈N*）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知b_n＝＝＝(－)，

故T_n＝,\s\up5(ni=1b_i＝[(1－)＋(–)＋…＋(－)]＝(1–），

因此，要使(1－）＜（n∈N*）成立的m，必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.