Question

已知與圓相切于點,經過點的割線交圓于點,的平分線分別交于點.

(1)證明:；
(2)若,求的值.

Answer 1

(1)證明如下 (2)

試題分析：(1)∵ PA是切線,AB是弦,∴∠BAP=∠C,
又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,∴∠ADE=∠AED. 
(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∵∠APC=∠BPA, ∴△APC∽△BPA, ∴,      
∵ AC="AP," ∴∠APC=∠C=∠BAP,由三角形內角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP="180°,"
∵ BC是圓O的直徑,∴∠BAC="90°," ∴∠APC+∠C+∠BAP="180°-90°=90°,"
∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°="30°." 在Rt△ABC中,=, ∴=.
點評：關于幾何證明的題目，若出現圓及切線，一般要結合到弦切角定理。