Question

（2012•大連模擬）已知函數f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數f（x）在定義域內的極值點的個數；
（Ⅱ）若函數f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）當0＜x＜y＜e²且x≠e時，試比較

y

x

與

1-lny

1-lnx

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．f′（x）=a-

1

x

．通過考察f′（x）的正負值區間判斷單調區間，得出極值點情況．
（Ⅱ）a=1，f（x）≥bx-2恒成立，即（1-b）x＞lnx-1，將b分離得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用導數求最小值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上為減函數，g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

，考慮將1-lnx除到右邊，為此分1-lnx正負分類求解．

解答：解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）．f′（x）=a-

1

x

．
（Ⅰ）當a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數 在（0，+∞）單調遞減，
∴在（0，+∞）上沒有極值點；
當a＞0時，由f′（x）＞0得x＞

1

a

，f′（x）＜0得x＜

1

a

．f′（x）=0得x=

1

a

．
∴在（0，

1

a

）上遞減，在（

1

a

，+∞）上遞增，即在x=

1

a

處有極小值．
∴當a≤0時在（0，+∞）上沒有極值點，
當a＞0時，在（0，+∞）上有一個極值點．（3分）
（Ⅱ）∵函數在x=

1

a

處取得極值，∴a=1，
f（x）=x-1-lnx，
∵f（x）≥bx-2，移項得（1-b）x＞lnx-1，再將b分離得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，
則令g′（x）=

lnx-2

x2

，可知在（0，e²）上g′（x）＜0，在（e²，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e²處取得極小值，也就是最小值．此時g（e²）=1-

1

e2

，
所以b≤1-

1

e2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上為減函數．0＜x＜y＜e²且x≠e時，
有g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

①
當0＜x＜e時，1-lnx＞0，由①得，

y

x

＞

1-lny

1-lnx

當e＜x＜e²時，1-lnx＜0，由①得

y

x

＜

1-lny

1-lnx

點評：本題考查函數與導數，利用導數研究函數的單調性，極值，并利用單調性比較大小．考查了分類討論、構造、推理計算能力．