Question

【題目】設a＞1，函數f（x）=log2（x2+2x+a），x∈[﹣3，3]．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）的最大值為5，求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a＞1時，知x2+2x+1＞0對任意的x∈[﹣3，3]，

令t（x）=x2+2x+a，x∈[﹣3，3]，

則y=log2t，

且t（x）=（x+1）2+a﹣1，x∈[﹣3，3]，

∴t（x）在[﹣3，﹣1]上為減函數，在（﹣1，3]為增函數，

∵y=log2t為增函數，

∴f（x）=log2（x2+2x+a）的兩個單調區間為[﹣3，﹣1]，（﹣1，3]，

且f（x）在[﹣3，﹣1]為減函數，在（﹣1，3]為增函數

（2）解：由（1）的單調性知，f（x）在x=﹣1處取得最小值，在x=3取得最大值，

∴f（x）max=f（3）=log2（a+15）=5，

解得a=17，

∴f（x）min=f（﹣1）=log216=4

【解析】（1）令t（x）=x2+2x+a，x∈[﹣3，3]，根據復數函數的單調性法則即可求出f（x）的單調區間，（2）根據函數的單調性可知f（x）在x=﹣1處取得最小值，在x=3取取最大值，先求出a的值，即可求出答案．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能得出正確答案．