Question

【題目】已知，函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，且在時有極大值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）對求導，分，，，進行討論，可得函數的單調性；

（2）將代入，對求導，可得，再對求導，可得函數有唯一極大值點，且.

可得,設，對其求導后可得.

解：（1），

又，，時，，所以可解得：函數在單調遞增，在單調遞減；

經計算可得，時，函數在單調遞減，單調遞增，單調遞減；

時，函數在單調遞減，單調遞增，單調遞減；

時，函數在單調遞減.

綜上：時，函數在單調遞增，單調遞減；

時，函數在單調遞減，單調遞增，單調遞減；

時，函數在單調遞減；

時，函數在單調遞減，單調遞增，單調遞減.

（2）若，則，

，

設，則，

當時，單調遞減，即單調遞減，

當時，單調遞增，即單調遞增.

又因為由可知：，

而，且，

，使得，且時，單調遞增，

時，單調遞減，時，單調遞增，

所以函數有唯一極大值點，

且.

.

所以,

設（），則，

在單調遞增，，，又因為，

.