Question

已知直線y=-2x+a（a＞0）與圓x²+y²=9交于A、B兩點，（O是坐標原點），若

OA

•

OB

=

9

2

，則實數a的值是

3 5

2

．

Answer 1

分析：把直線y=-2x+a（a＞0）代入圓x²+y²=9，得5x²-4ax+a²-9=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=

a2-9

5

，y₁y₂=

4a2-36

5

-

8

5

a2+a²，由此利用

OA

•

OB

=

9

2

，能求出a．

解答：解：把直線y=-2x+a（a＞0）代入圓x²+y²=9，
得x²+（-2x+a）²=9，
整理，得5x²-4ax+a²-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

4

5

a，x₁x₂=

a2-9

5

，
∴y₁y₂=（-2x₁+a）（-2x₂+a）
=4x₁x₂-2a（x₁+x₂）+a²
=

4a2-36

5

-

8

5

a2+a²，
∵

OA

•

OB

=

9

2

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

a2-9

5

+

4a2-36

5

-

8

5

a2+a 2
=

2a2-45

5

=

9

2

，
解得a=±

3 5

2

．
∵a＞0，∴a=

3 5

2

．
故答案為：

3 5

2

．

點評：本題考查平面向量數量積的運算，解題時要認真審題，注意向量垂直、韋達定理、圓等基本知識的合理運用．