Question

【題目】已知函數，

（1）若函數在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論在R上的單調性；

（3）對任意，總有成立，求正整數的最大值。

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）2

【解析】

（1）根據導數的幾何意義求出切線的斜率，再結合條件可得；（2）由題意得到，然后根據的符號可得到函數的單調性；（3）將問題轉化為不等式對恒成立求解，然后根據得到對恒成立，令，根據導數求出函數最小值所在的范圍后可得正整數的最大值．

（1）∵，

∴，

∴．

∵函數在處的切線與直線垂直，

∴，

解得．

（2）∵，

∴．

①當時，恒成立，

∴函數在R上單調遞增．

②當時，由，得，

且當時，單調遞減；

當時，單調遞增．

綜上可得，當時，函數在R上單調遞增；

當時，在單調遞減，在上單調遞增．

（3）由得，

整理得，

由題意得“對任意，總有成立”等價于“不等式對任意恒成立”，

∴，

整理得，

∵，且當時，，

∴．

令，

則，且在上單調遞增，

∵，

∴存在，使得，

且當時，單調遞減；當時，單調遞增．

∴，

又，

∴，，

∴，

∴，

又為正整數，

∴，

∴正整數的最大值為2．