Question

（2012•湖北模擬）設直線l：x-y+m=0與拋物線C：y²=4x交于不同兩點A、B，F為拋物線的焦點．
（1）求△ABF的重心G的軌跡方程；
（2）如果m=-2，求△ABF的外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設出A、B、G的坐標，聯立直線與拋物線，利用重心坐標公式，即可求得重心G的軌跡方程；
（2）確定AB的中垂線方程為x+y-6=0，令△ABF外接圓圓心為C（a，6-a），求出弦AB的長，C到AB的距離，利用|CA|=|CF|，即可求得圓心坐標與半徑，從而可得△ABF的外接圓的方程．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（1，0），重心G（x，y），
聯立直線與拋物線，可得

y2=4x x-y+m=0

，消元可得y²-4y+4m=0
∴△＞0⇒m＜1且m≠-1（因為A、B、F不共線）
故

x= x1+x2+1 3 = y1+y2-2m+1 3 = 5-2m 3 y= y1+y2 3 = 4 3

∴重心G的軌跡方程為y=

4

3

(x＞1且x≠

7

3

)（6分）
（2）m=-2，則y²-4y-8=0，設AB中點為（x₀，y₀）
∴y0=

y1+y2

2

=2，∴x₀=y₀-m=2-m=4
∴AB的中垂線方程為x+y-6=0
令△ABF外接圓圓心為C（a，6-a）
又|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=4

6

，C到AB的距離為d=

|2a-8|

2

∴|CA|=|CF|⇒(2

6

)2+(

2a-8

2

)2=(a-1)2+(6-a)2⇒a=

19

2

∴C(

19

2

，-

7

2

)，∴|CF|2=(

17

2

)2+(

7

2

)2=

169

2

∴所求的圓的方程為(x-

19

2

)2+(y+

7

2

)2=

169

2

（7分）

點評：本題考查軌跡方程，考查圓的方程，解題的關鍵是確定圓的圓心與半徑，屬于中檔題．