Question

（2012•湖北模擬）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為3+2

2

，3-2

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），證明直線CA與直線BD的交點K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M、N兩點，與y軸交于點R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，證明：λ+μ為定值．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有一個頂點到兩個焦點之間的距離分別為3+2

2

，3-2

2

，建立方程，結合b²=a²-c²，即可求得橢圓方程；
（2）設出A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），利用A在橢圓上有

t2

9

+y02=1，求出CA，DB的方程，相乘，即可得到結論；
（3）設直線l的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯立，利用韋達定理及

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，求出λ，μ的值，即可得出結論．

解答：解：（1）由已知得

a+c=3+2 2 a-c=3-2 2

，解得

a=3 c=2 2

∴b²=a²-c²=1…（3分）
∴橢圓方程為

x2

9

+y2=1．…（5分）
（2）依題意可設A（t，y₀），B（t，-y₀），K（x，y），且有

t2

9

+y02=1
又CA：y=

y0

t+3

(x+3)，DB：y=

-y0

t-3

(x-3)，
∴y2=

- y 2 0

t2-9

(x2-9)，
將

t2

9

+y02=1代入即得y2=

1

9

(x2-9)，

x2

9

-y2=1
所以直線CA與直線BD的交點K必在雙曲線

x2

9

-y2=1上．…（10分）
（3）依題意，直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x-1），…（11分）
設M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），則M、N兩點坐標滿足方程組

y=k(x-1)  x2 9 +y2=1 .

消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，
所以x3+x4=

18k2

1+9k2

，①x3x4=

9k2-9

1+9k2

，②…（13分）
因為

RM

=λ

MQ

，所以（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]，
即

x3=λ(1-x3)  y3-y5=-λy3 .

，所以x₃=λ（1-x₃），
又l與x軸不垂直，所以x₃≠1，
所以λ=

x3

1-x3

，同理μ=

x4

1-x4

．        …（14分）
所以λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

．
將①②代入上式可得λ+μ=-

9

4

．      …（16分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查方程與曲線的關系，考查直線與橢圓的位置關系，聯立方程組，利用韋達定理是關鍵．