Question

已知數列{an}和{bn}滿足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實數，n為正整數．

(1)對任意實數λ，證明：數列{an}不是等比數列；

(2)試判斷數列{bn}是否為等比數列，并證明你的結論．

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)假設存在一個實數λ，使{an}是等比數列，則有＝a1a3，

即2＝λ?λ2－4λ＋9＝λ2－4λ?9＝0，矛盾，所以{an}不是等比數列．

(2)因為bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1 ＝－ (－1)n·(an－3n＋21)＝－bn.

又b1＝－(λ＋18)，所以當λ＝－18時，

bn＝0(n∈N*)，此時{bn}不是等比數列；

當λ≠－18時，b1＝－(λ＋18)≠0，由bn＋1＝－bn.

可知bn≠0，所以＝－(n∈N*)．

故當λ≠－18時，數列{bn}是以－(λ＋18)為首項，－為公比的等比數列．