Question

（2008•南京模擬）某電視臺的一個智力游戲節目中，有一道將四本由不同作者所著的外國名著A、B、C、D與它們的作者連線的題目，每本名著只能與一名作者連線，每名作者也只能與一本名著連線．每連對一個得3分，連錯得-1分，一名觀眾隨意連線，他的得分記作ξ．
（1）求該觀眾得分ξ為非負的概率；
（2）求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得：其連對題目的個數為：0，1，2，4，所以ξ的可能取值為-4，0，4，12，再分別計算出其得分為非負的概率，進而得到答案．
（2）由題意可得：P（ξ=-4）=

9

A 4 4

=

9

24

，再結合（1）可得ξ的分布列與其數學期望．

解答：解：（1）因為直接計算ξ的數值比較困難，
所以首先計算其連對題目的個數．
根據題意可得：其連對題目的個數為：0，1，2，4，
所以ξ的可能取值為-4，0，4，12．  …（1分）
因為名觀眾隨意連線，所以有A₄⁴種不同的連法，
所以P（ξ=12）=

1

A 4 4

=

1

24

；…（3分）
P（ξ=4）=

C 2 4

A 4 4

=

6

24

=

1

4

；…（5分）
P（ξ=0）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

8

24

=

1

3

；…（7分）
所以該同學得分非負的概率為P（ξ=12）+P（ξ=4）+P（ξ=0）=

15

24

=

5

8

．…（8分）
（2）由題意可得：P（ξ=-4）=

9

A 4 4

=

9

24

=

3

8

．
所以ξ的分布列為：

ξ	-4	0	4	12
P	3 8	1 3	1 4	1 24

…（10分）
所以數學期望Eξ=-4×

3

8

+4×

1

4

+12×

1

24

=0．…（12分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握排列、組合與計數原理的有關知識，以及等可能事件的概率公式與離散型隨機變量的分布列、數學期望等知識，此題屬于中檔題，是高考命題的熱點之一．