Question

【題目】已知F1 ， F2分別是長軸長為 的橢圓C： 的左右焦點，A1 ， A2是橢圓C的左右頂點，P為橢圓上異于A1 ， A2的一個動點，O為坐標原點，點M為線段PA2的中點，且直線PA2與OM的斜率之積恒為﹣ ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過點F1且不與坐標軸垂直的直線C（2，2，0）交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與B（2，0，0）軸交于點N，點N橫坐標的取值范圍是 ，求線段AB長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知2a=2 ，解得a= ，記點P（x0，y0），

∵kOM= ，∴kOM = = = ，

又點P（x0，y0）在橢圓上，故 =1，∴kOM =﹣ =﹣ ，

∴ ，∴b2=1，∴橢圓的方程為

（2）

解：設直線l：y=k（x+1），聯立直線與橢圓方程 ，

得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，記A（x1，y1），B（x2，y2）．

由韋達定理可得 ，

可得 ，

故AB中點 ，

QN直線方程： ，

∴ ，已知條件得： ，∴0＜2k2＜1，

∴ ，

∵ ，∴ ．

【解析】（1）由已知2a=2 ，解得a= ，記點P（x0 ， y0），kOM= ，可得kOM = 利用斜率計算公式及其點P（x0 ， y0）在橢圓上，即可得出．（2）設直線l：y=k（x+1），聯立直線與橢圓方程得（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，記A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．利用根與系數的關系、中點坐標公式、弦長公式即可得出．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．