Question

已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）當點為線段中點時，與成角.

試題分析：（Ⅰ）為了證明∥平面,需要在平面內找一條與平行的直線，而要找這條直線一般通過作過且與平面相交的平面來找.在本題中聯系到為中點，故連結，這樣便得一平面，接下來只需證與交線平行即可.對（Ⅱ）（Ⅲ）兩個小題，由于是直三棱柱，且，故兩兩垂直，所以可以以為坐標軸建立空間直角坐標系來解決.
試題解析：（Ⅰ）證明：根據三視圖知：三棱柱是直三棱柱，，連結，交于點，連結.由 是直三棱柱，得 四邊形為矩形，為的中點.又為中點，所以為中位線，所以 ∥， 因為 平面，平面， 所以 ∥平面.                            4分
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.
如圖建立空間直角坐標系.

，則.
所以 ，
設平面的法向量為，則有
所以  
取，得.       6分
易知平面的法向量為.                  7分
由二面角是銳角，得 .   8分
所以二面角的余弦值為.
（Ⅲ）解：假設存在滿足條件的點.
因為在線段上，，，故可設，其中.
所以 ，.          9分
因為與成角，所以.         10分
即，解得，舍去.      11分
所以當點為線段中點時，與成角.        12分