Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓過點，長軸長為，過點C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B.
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB中點的橫坐標是求直線l的斜率；
（3）在x軸上是否存在點M，使是與k無關的常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）∵橢圓長軸長為
又∵橢圓過點，代入橢圓方程得
∴橢圓方程為
即                                                                     …………3分
（2）∵直線且斜率為k，
設直線方程為
由
設∵線段AB中點的橫坐標是
則
即                             …………7分
（3）假設在x軸上存在點，
使是與k無關的常數，
由
設
則                                 …………9分


是與k無關的常數，設常數為t，
則                                        …………12分
整理得對任意的k恒成立
，解得
即在x軸上存在點，
使是與k無關的常數.                               …………14分