Question

如果對于定義在R上的函數f（x），其圖象是連續不斷的，而且存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf （x）=0對任意實數x都成立，則稱f（x） 是一個“λ-伴隨函數”．有下列關于“λ-伴隨函數”的結論：①f（x）=0 是常數函數中唯一個“λ-伴隨函數”；②f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”；③“-伴隨函數”至少有一個零點．其中不正確的序號是

1. A.
   ①②
2. B.
   ②③
3. C.
   ③
4. D.
   ①

Answer 1

A
分析：根據“λ-伴隨函數”的定義，可得f（x）=C（C是常數）必定是“λ-伴隨函數”，f（x）=0不是唯一一個，故①不正確；
假設f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”，得（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，而找不到λ使上式成立，故f（x）=x²不是一個“λ-伴隨函數”，②不正確；根據“λ-伴隨函數”的定義，結合函數零點存在性定理，可證出“-伴隨函數”至少有一個零點，得③正確．由此可得正確答案．
解答：對于①，設f（x）=C（C是常數）是一個“λ-伴隨函數”，則f（x+λ）+λf （x）=（1+λ）C=0，
當λ=-1時，C可以取遍實數集，因此f（x）=C（C是常數）必定是“λ-伴隨函數”，
可得f（x）=0 不是常數函數中唯一個“λ-伴隨函數”，故①不正確；
對于②，假設f（x）=x²是一個“λ-伴隨函數”，則f（x+λ）+λf （x）=（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而找不到λ使此式成立，
所以f（x）=x²不是一個“λ-伴隨函數”，故②不正確．
對于③，令x=0，得f（0+）+f（0）=0，所以f（）=-f（0）．
當f（0）=0時，顯然f（x）=0有實數根；
當f（0）≠0時，f（）•f（0）=-[f（0）]²＜0．因為函數f（x）函數圖象是連續不斷的，
所以f（x）在（0，）上必有實數根，
綜上所述，因此“-伴隨函數”至少有一個零點．故③正確．
故答案為：A
點評：本題給出抽象函數，叫我們找出三個命題中的假命題，著重考查了基本初等函數的圖象與性質，函數零點存在性定理等知識，屬于中檔題．