【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為菱形，
平面，
，
，
，
分別是
，
的中點.
(1)求證：
；
(2)設
為線段
上的動點，若線段
長的最小值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）根據線面垂直的判定定理，得到
平面
，進而可推出結論成立；
（2）
為線段
上的動點，連接
，
，根據題意得到
，由（1）得
，
，
兩兩垂直，以
為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出平面
與平面
的法向量，由向量夾角公式，即可得出結果.
(1)∵四邊形
為菱形，
，
∴
為正三角形.
又
為
的中點，∴
.
∵
，∴
.
∵
平面，
平面，
∴
.
∵
平面，
平面，且
，
∴平面，
又
平面，∴
；
(2)如圖，為線段上的動點，連接，.
當線段的長最小時，
.
由(1)知，∵
，
∴
平面
.
∵
平面，∴
.
在
中，
，
，
，
∴
，
在
中，由
，
，可知
，即
.
∴在
中，可得.
由(1)可知，，兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.由，
分別是，
的中點，可得
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
.
設平面的法向量為
，
則
，因此
，
取
，得
.
因為
，
，
，
所以
平面，
故
為平面的一個法向量.
又
，
所以
.
由圖易知二面角
為銳角，故所求二面角的余弦值為.
期末寶典單元檢測分類復習卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在正方體
中，點
是棱
上的一個動點，平面
交棱
于點
．給出下列命題：
①存在點
，使得
//平面
；
②對于任意的點
，平面
平面
；
③存在點
，使得
平面
；
④對于任意的點
，四棱錐
的體積均不變.
其中正確命題的序號是______．（寫出所有正確命題的序號）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年寒假是特殊的寒假，因為抗擊疫情全體學生只能在家進行網上在線學習，為了研究學生在網上學習的情況，某學校在網上隨機抽取120名學生對線上教育進行調查，其中男生與女生的人數之比為11∶13，其中男生30人對于線上教育滿意，女生中有15名表示對線上教育不滿意.
（1）完成
列聯表，并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”；
滿意 | 不滿意 | 總計 | |
男生 | 30 | ||
女生 | 15 | ||
合計 | 120 |
（2）從被調查的對線上教育滿意的學生中，利用分層抽樣抽取8名學生，再在8名學生中抽取3名學生，作線上學習的經驗介紹，其中抽取男生的個數為
，求出的分布列及期望值.
參考公式：附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知焦點在x軸上的橢圓
有一個內含圓x2＋y2=
，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M，N，且
(O為原點).
（1）求b的值；
（2）設內含圓的任意切線l交橢圓于點A、B.求證：
，并求|AB|的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，過且與
軸垂直的直線被橢圓和圓
截得的弦長分別為2和
.
（1）求的標準方程；
（2）已知動直線
與拋物線
：
相切（切點異于原點），且與橢圓相交于
，
兩點，問：橢圓上是否存在點
，使得
，若存在求出滿足條件的所有點的坐標，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法中正確的是（ ）
A.對具有線性相關關系的變量
有一組觀測數據
，其線性回歸方程是
，且
，則實數
的值是
B.正態分布
在區間
和
上取值的概率相等
C.若兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數
的值越接近于1
D.若一組數據
的平均數是2，則這組數據的眾數和中位數都是2
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