Question

已知正項數列{a_n}中a₁=2，點在函數的導函數y=f'（x）圖象上，數列{b_n}中，點（b_n，S_n）在直線上，其中S_n是數列{b_n}的前n項和（n∈N^*）
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{c_n}滿足，且數列{c_n}的前n項和T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數，知f′（x）=x²+1，由正項數列{a_n}中，點在函數的導函數y=f'（x）圖象上，知a_n+1=a_n+1，由此能求出數列{a_n}的通項公式；數列{b_n}中，點（b_n，S_n）在直線上，故，由此能求出數列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由==，知，用錯位相減法能夠證明-（n+1）×≤．
解答：（Ⅰ）解：∵函數，
∴f′（x）=x²+1，
∵正項數列{a_n}中，點在函數的導函數y=f'（x）圖象上，
∴a_n+1=a_n+1，
∵a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∵數列{b_n}中，點（b_n，S_n）在直線上，
∴，①
∴，
解得b₁=2．
，②
①-②，得，
∴，
∴，
∴．
（Ⅱ）證明：∵==，
∴，
+…+，
∴-（n+1）×
=2+-（n+1）×
=2+--（n+1）×，
∴-（n+1）×≤．
點評：本題考查數列與函數的綜合，考查數列通項公式的求法和數列前n項和的證明，解題時要認真審題，注意錯位相減求和法的合理運用．