Question

已知正項數列{a_n}，Sn=

1

8

(an+2)2
（1）求證：{a_n}是等差數列；
（2）若bn=

1

2

an-30，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）根據數列Sn與a_n的固有關系an=

s1    n=1 sn-sn-1    n≥2

，求出a_n+1-a_n-4=0后即可證明{a_n}是等差數列．
 （2）在（1）的基礎上求出a_n=4n-2，則bn=

1

2

an-30=2n-31，再利用等差數列前n項和公式計算得出結果．

解答：解：（1）an+1=Sn+1-Sn=

1

8

(an+1+2)2-

1

8

(an+2)2
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²
∴（a_n+1-2）²-（a_n+2）²=0
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0
∵a_n＞0，
∴a_n+1+a_n≠0
∴a_n+1-a_n=4所以{a_n}是等差數列
（2）由 （1）知：a1=S1=

1

8

(a1+2)2，解得a₁=2
∴a_n=4n-2，則bn=

1

2

an-30=2n-31
∴{b_n}是以b₁=-29為首項，d=2為公差的等差數列
∴數列{b_n}的前n項和為-29n+

n(n-1)

2

×2=n²-30n．

點評：本題考查等差數列的定義、判斷，前n項和的計算，用到了數列中Sn與a_n的固有關系，考查計算、變形構造、轉化、論證能力．