Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分別是PC，PD，BC的中點．

（1）求證：平面PAB∥平面EFG；
（2）在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明；
（3）求出D到平面EFG的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：E，G分別是PC，BC的中點得EG∥PB

∴EG∥平面PAB

又E，F分別是PC，PD的中點，

∴EF∥CD，又AB∥CD

∴EF∥AB

∵EFp平面PAB，AB平面PAB

∴EF∥平面PAB

又∵EG，EF平面EFG，EG∩EF=E

∴平面PAB∥平面EFG

（2）證明：Q為PB的中點，連QE，DE，又E是PC的中點，

∴QE∥BC，又BC∥AD∴QE∥AD

∴平面ADQ即平面ADEQ∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形，

∴等腰直角三角形PDC

由E為PC的中點知DE⊥PC

∵PD⊥平面ABCD

∴PD⊥AD又AD⊥DC

∴AD⊥面PDC

∴AD⊥PC，且AD∩DE=D

∴PC⊥平面ADEQ，即證PC⊥平面ADQ

（3）解：連DG，取AD中點H，連HG，HF，設點D到平面EFG的距離為h．H，G為AD，BC中點可知HG∥DC，又EF∥DC

∴HG∥EF

∴G到EF的距離即H到EF的距離

∵PD⊥DC，AD⊥DC

∴DC⊥面PAD，又EF∥DC

∴EF⊥面PAD

∴EF⊥HF

∴HF為G到EF的距離，由題意可知EF=1，HF= ， =

∵AD⊥面PDC，GC∥AD

∴GC⊥面PDC

∴G到面EFD的距離為CG=1

又可知EF=DF=1，

∴

【解析】（1）由已知可得EG∥PB，從而可證EG∥平面PAB，則只要再證明EF∥平面PAB，即證EF∥AB，結合已知容易證，根據平面與平面平行的判定定理可得（2）若使得PC⊥平面ADQ，即證明PC⊥平面ADE，當Q為PB的中點時，PC⊥Ae，AD⊥PC即可（3）結合已知可考慮利用換頂點VD﹣EFG=VG﹣EFD ， 結合已知可求