Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c且cos2B+3cosB﹣1=0．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=1，求b的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）在△ABC中，∵cos2B+3cosB﹣1=0，
∴2cos2B+3cosB﹣2=0，
∴cosB=或cosB=﹣2（舍去），
∴B=．
（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3a2﹣3a+1，其中0＜a＜1，
∵f（a）=3a2﹣3a+1在上遞減，在上遞增，
∴，又0＜b＜1，
∴．
【解析】（1）利用二倍角的余弦函數公式化簡已知可得2cos2B+3cosB﹣2=0，解得cosB，從而可求B的值．
（2）由已知及余弦定理可得b2=3a2﹣3a+1，其中0＜a＜1，由于二次函數f（a）=3a2﹣3a+1在上遞減，在上遞增，從而可求b2的最小值，進而得解b的最小值．
【考點精析】通過靈活運用余弦定理的定義，掌握余弦定理:;;即可以解答此題．