Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）為二次函數(shù)且二次項系數(shù)為a，把不等式f（x）＞-2x變形為f（x）+2x＞0因為它的解集為（1，3），則可設(shè)f（x）+2x=a（x-1）（x-3）且a＜0，解出f（x）；又因為方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，利用根的判別式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因為f（x）為開口向下的拋物線，利用公式當(dāng)x=-

b

2a

時，最大值為

4ac-b2

4a

=-

a2+4a+1

a

.和a＜0聯(lián)立組成不等式組，求出解集即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0．因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a．①
由方程f（x）+6a=0得ax²-（2+4a）x+9a=0．②
因為方程②有兩個相等的根，所以△=[-（2+4a）]²-4a•9a=0，
即5a²-4a-1=0．解得a=1或a=-

1

5

.
由于a＜0，舍去a=1．將a=-

1

5

代入①得f（x）的解析式f(x)=-

1

5

x2-

6

5

x-

3

5

.
（Ⅱ）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-

1+2a

a

)2-

a2+4a+1

a

及a＜0，可得f（x）的最大值為-

a2+4a+1

a

.就
由

- a2+4a+1 a ＞0 a＜0

解得a＜-2-

3

或-2+

3

＜a＜0．
故當(dāng)f（x）的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-2-

3

)∪(-2+

3

，0).

點評：考查學(xué)生函數(shù)與方程的綜合運用能力．