Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
(1)求橢圓方程；
(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，

Answer 1

（1）.
（2）時(shí)，的取值范圍是；時(shí)，的取值范圍是

解析試題分析：（1）由已知，可得，，
利用，即得，，求得橢圓方程.
（2）應(yīng)注意討論和的兩種情況.
首先當(dāng)時(shí)，直線和橢圓有兩交點(diǎn)只需；
當(dāng)時(shí)，設(shè)弦的中點(diǎn)為分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
聯(lián)立，得,
注意根據(jù)，確定   ① 平時(shí)解題時(shí)，易忽視這一點(diǎn).
應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及 得到 ②，
將②代入①得，解得， 由②得 ，
故所求的取值范圍是.
試題解析：（1）由已知，可得，，
∵，∴，，
∴.                            4分
（2）當(dāng)時(shí)，直線和橢圓有兩交點(diǎn)只需；             5分
當(dāng)時(shí)，設(shè)弦的中點(diǎn)為分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得, 
由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以
，即   ①                                7分
   9分
又 ②， 10分
將②代入①得，解得， 由②得 ，
故所求的取值范圍是.                     12分
綜上知，時(shí)，的取值范圍是；
時(shí)，的取值范圍是               13分
考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，不等式解法.