在平面直角坐標系
中，已知點
，
是動點，且
的三邊所在直線的斜率滿足
．
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）若
是軌跡上異于點的一個點，且
，直線
與
交于點
，問：是否存在點，使得
和
的面積滿足
？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．
（1）
（
且
）,（2）
解析試題分析：（1）點的軌跡的方程,就是找出點橫坐標與縱坐標的關系式，而條件中只有點為未知，可直接利用斜率公式
化簡,得點的軌跡的方程為，求出軌跡的方程后需結合變形過程及觀察圖像進行去雜，本題中分母不為零是限制條件，（2）本題難點在于對條件的轉化，首先條件說明的是
，其次條件揭示的是
，兩者結合轉化為條件
，到此原題就轉化為：已知斜率為
的過點直線被拋物線截得弦長為
，求點的坐標.
試題解析：
（1）設點
為所求軌跡上的任意一點，則由
得，
，整理得軌跡
的方程為（且）． 3分
（2）:學設
由
可知直線，
則
，故
，即
， 5分
直線OP方程為：
①；直線QA的斜率為：
，
∴直線QA方程為：
，即
②
聯立①②，得
，∴點M的橫坐標為定值
． 8分
由，得到，因為，所以
，
由
，得
，∴
的坐標為．
∴存在點P滿足
，的坐標為． 10分
考點：軌跡方程，直線與拋物線位置關系
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓M：
＝1(a>
)的右焦點為F1，直線l：x＝
與x軸交于點A，若
1＝2
(其中O為坐標原點)．
(1)求橢圓M的方程；
(2)設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x2＋(y－2)2＝1的任意一條直徑(E，F為直徑的兩個端點)，求
·
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓的方程為
，斜率為1的直線不經過原點
，而且與橢圓相交于
兩點，
為線段
的中點.
（1）問：直線
與能否垂直？若能，求
之間滿足的關系式；若不能，說明理由；
（2）已知為
的中點，且
點在橢圓上.若
，求之間滿足的關系式.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（1）已知點
和
，過點
的直線
與過點
的直線
相交于點
，設直線的斜率為
，直線的斜率為
，如果
，求點的軌跡；
（2）用正弦定理證明三角形外角平分線定理：如果在
中，
的外角平分線
與邊
的延長線相交于點
，則
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系中，已知點
，點
在直線
：
上運動，過點與垂直的直線和線段
的垂直平分線相交于點
．
(1)求動點的軌跡
的方程；
(2)過(1)中的軌跡上的定點
作兩條直線分別與軌跡相交于
，
兩點．試探究：當直線
，
的斜率存在且傾斜角互補時，直線
的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別為
，且
，長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊三角形的三個頂點．
(1)求橢圓方程；
(2)設橢圓與直線
相交于不同的兩點M、N，又點
，當
時，求實數m的取值范圍，
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的離心率為
，直線
與圓
相切.
的方程；
與橢圓
，求弦長
.
：
，直線
交橢圓
兩點.
為直徑的圓的方程. 
的橢圓
一個焦點為
.
的方程；
交橢圓
兩點,且
，求直線