Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ (x≠0，a∈R)．

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2(x≠0)為偶函數(shù)；

當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．

(2)解法一 設(shè)x2＞x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝ [x1x2(x1＋x2)－a]，由x2＞x1≥2，得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0.

要使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，只需f(x1)－f(x2)＜0，

即x1x2(x1＋x2)－a＞0恒成立，則a≤16.

故a的取值范圍是(－∞，16]．

解法二 f′(x)＝2x－，要使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，只需當(dāng)x≥2時(shí)，f′(x)≥0恒成立，即2x－≥0，則a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故當(dāng)a≤16時(shí)，f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)．故a的取值范圍是(－∞，16]．