Question

已知正三棱錐的底面邊長是6，側棱與底面所成角為60°，則此三棱錐的體積為

18

3

．

Answer 1

分析：三棱錐O-ABC的側棱與底面ABC所成的角都是60°，故O-ABC是正三棱錐．由此入手，能夠求出此三棱錐的體積．

解答：解：∵三棱錐O-ABC的側棱與底面ABC所成的角都是60°，
∴O-ABC是正三棱錐．
過O作OG⊥平面ABC交于點G，延長AG交BC于D．
∵O-ABC是正三棱錐，
∴點G是△ABC的中心，
∴AD是等邊△ABC的一條高，
∴AD=

3

2

BC=3

3

，
∴AG=

2

3

AD=2

3

．
∵OG⊥平面ABC，
∴∠ABG=60°，
∴OA=2AG=4

3

，OG=

3

AG=6．
∵△ABC是正三角形，
∴BD=CD=

1

2

BC=3，而OB=OC，∴OD⊥BD，
∴OD=

OB2-BD2

=

OA2-BD2

=

13

2

，
∴△ABC的面積=

1

2

AB²sin60°=9

3

．
∴O-ABC的體積為

1

3

×S_△ABC×OG=18

3

故答案為：18

3

點評：本題考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意合理地化立體問題為平面問題．